نجوم: نکات لاگرانژ – بلاگ دیتریش (استراتو)

متعلق به: مکانیک آسمانی
همچنین مراجعه کنید به: مکانیک نیوتنی ، منظومه شمسی
موارد استفاده: طراحی SVG از Github ، افزونه وردپرس MathJax-Latex

مشکل سه بدنه

اگر حرکت دارید هنگام بررسی بدن در منظومه شمسی ، مکانیک آسمانی به شما می گوید که مشکل کلی سه بدن را نمی توان به صورت تحلیلی و به صورت بسته حل کرد. اما با اصطلاحاً مشکل سه بدنه محدود ، یکی از راه حل های خوب است ، نقاط معروف لاگرانژ L ₁ ، L ₂ و غیره که در آن کاوشگرهای فضایی مانند Soho هستند دوست دارد که به آنجا اعزام شود

مسئله سه بدن محدود

با اصطلاح "مشکل سه بدن محدود" یکی برای سادگی فرض می کند که جرم یکی از این سه جسم بسیار کمتر از دو جسم دیگر است ، به طوری که یکی از سه جسم از اثر گرانش غافل می شود. سپس شما دو جرم آسمانی دارید که بر روی یکدیگر و همچنین جسم سوم کوچک تأثیر می گذارند ، اما خود هیچ تأثیری بر گرانش روی دو جسم دیگر ندارد. یک مثال خوب در این مورد ، حرکت سیارک در نزدیکی یک سیاره بزرگ است.

راه حل های مسئله محدود سه بدن

راه حل های شناخته شده نقاط لاگرانژ L ₁ ، L ₂ ، L ₃ ، L ₄ و L ₅

منبع: https: // commons .wikimedia.org / wiki / پرونده: Lagrange_very_massive.svg

در سیستم زمین خورشید ، L ₁ شناخته شده است که 1.5 میلیون کیلومتر با زمین در جهت خورشید فاصله دارد L ₂ نیز فقط در جهت مخالف 1.5 میلیون کیلومتر با زمین فاصله دارد. از آنجا که زمین به دور خورشید حرکت می کند ، نقاط لاگرانژی نیز حرکت می کنند و آن را دنبال می کنند ، یعنی با همان سرعت زاویه ای.

نقاط L ₁ و L ₂ توسط ماهواره ها اشغال می شوند. در L ₁ ماهواره های رصد خورشیدی مانند SOHO وجود دارد. در این مرحله شما همیشه دید واضحی از خورشید دارید. L ₂ برای تلسکوپ های فضایی مناسب است. در پشت زمین آنها از تابش شدید خورشید محافظت می شوند و می توانند بدون مزاحمت به کار خود ادامه دهند. ماهواره WMAP (30 ژوئن 2001 راه اندازی شد) تابش پس زمینه کیهانی را از اینجا بررسی می کند و ماهواره های هرشل و پلانک (پرتاب در 14 مه 2009) و گایا (19 دسامبر 2013) در اینجا قرار می گیرند.

محاسبه لاگرانژ نقطه L ₁

بیایید از خود بپرسیم كه نقطه لاگرانژ L ₁ دقیقاً كجا قرار دارد. اولین فکر این است که در آنجا نیروهای جذب خورشید و زمین یکدیگر را لغو می کنند.
ما می توانیم به راحتی این را با قانون جاذبه نیوتن محاسبه کنیم:

( Large F = G frac {m cdot M} {r ^ 2} \ )

ما متغیرهای خروجی زیر را فرض می کنیم:

اندازه	مقدار	واحد
فاصله خورشید-زمین	149.597.870.700	متر
ثابت گرانش	6 67259 10 -11	N m 2 / کیلوگرم 2
توده خورشید	1.98892 10 30	کیلوگرم
جرم زمین	5.9722 10 24	کیلوگرم

سپس می توانیم نیروهای جاذبه را به صورت زیر محاسبه کنیم:

لینک: https://docs.google. com / spreadsheets / d / 12Gtf1ycow4J4GfH3OkF2jbuNaBcToY6B7u69bGW9ejE / edit؟ usp = sharing

فاصله از خورشید	فاصله از زمین	جاذبه خورشید	] 49300000 10 11	2.978707 10 8	-5.954 10 -3	+4.491 10 -3	-1.462 10 -3 [19659037] 1.49339090 10 11	2.587807 10 8	-5.951 10 -3	+5.951 10 -3 ]	-3.602 10 -9
1.49400000 10 11	1.978707 10 8	-5.946 10 -3	+1.018 10 -2	+4.232 10 -3

در فاصله 258 781 كيلومتر از زمين در جهت خورشید ، نیروهای گرانشی خورشید و زمین یکدیگر را لغو می کنند. اما نقطه لاگرانژ آنجا نیست.

"اولین فکر" ما برای محاسبه موقعیت نقطه لاگرانژ L ₁ خیلی ساده بود. نقطه لاگرانژ فقط در "سیستم مرجع هم چرخان" یک موقعیت ثابت دارد. چنین "سیستم مرجع هم چرخشی" یک سیستم اینرسی نیست و نیروهای به اصطلاح شبه ای رخ می دهد. در هر صورت نیروی گریز از مرکز و با یک جسم متحرک نیز نیروی کوریولیس اتفاق می افتد.

نقطه لاگرانژ L ₁ با نیروی گریز از مرکز

در یک سیستم مرجع چرخش ما یک نیروی گریز از مرکز داریم:

(F (r) = m frac {v ^ 2} {r} = m frac {4 pi ^ 2} {T ^ 2} r \ )

جایی که v سرعت مداری است و T زمان مداری است.

برای مدار زمین به دور خورشید ، ما نیز فرض می کنیم که دوره انقلاب فرعی است:

اندازه	مقدار	واحد
زمان مداری خورشید – زمین	31.558.149.54	s

با این کار می توان محاسبه کرد که مجموع نیروهای جذب (شتاب) و نیروی گریز از مرکز (شتاب) یکدیگر را لغو می کنند: [19659058] فاصله از خورشید فاصله von der Erde جاذبه خورشید جاذبه زمین نیروی گریز از مرکز مجموع 1.481000 10 ¹¹ 1.4978707 10 ⁹ -6.051 10 ^-3 +1.776 10 ^-4 +5.871 10 ^-3 ] -2.304 10 ^-6 1.481064 10 ¹¹ 1.4914707 10 ⁹ -6.0 10 ^-3 + 1.79 1 10 ^-4 +5.871 10 ^-3 – 1.385 10 ^-10 1،482000 10 ¹¹ 1.3938707 10 ⁹ -6.042 10 ^-3 +2.039 10 ^-4 + 5.875 10 ^-3 +3.614 10 ^-5

در فاصله 1 491 470.7 کیلومتر از زمین در جهت خورشید ، نیروهای گرانش خورشید و زمین همراه با نیروی گریز از مرکز سیستم چرخان یکدیگر را لغو می کنند. نقطه لاگرانژ L ₁ وجود دارد.

در واقع ، روشن است که نیروی گریز از مرکز باید در اینجا نقش اساسی داشته باشد. زیرا اگر گرانش زمین صفر باشد ، فقط این سوال مطرح می شود که چه زمانی نیروی جاذبه خورشید و نیروی چرخش گریز از مرکز یکدیگر را لغو می کنند. این دقیقاً در مدار زمین دقیقاً در مدار زمین وجود دارد.

منطقه تقریباً کروی اطراف زمین با شعاع 1.491 میلیون کیلومتر نیز تپه کره نامیده می شود. بنابراین نیروی جاذبه زمین در آنجا غالب است.