نجوم: متریک شوارتزیلد | بلاگ دیتریش (استراتو)

متعلق به: فیزیک
همچنین نگاه کنید به: فضای برداری ، نظریه نسبیت ، سیاه چاله ها ، جاذبه

انحنای فضا از طریق معیارها

اگر کسی با نظریه عمومی نسبیت (ART) سرو کار داشته باشد ، اصطلاح "انحنای فضا" ظاهر می شود به عنوان مثال، برای "توضیح" انحراف نور در یک جرم بزرگ.

به ویژه با موضوع "سیاهچاله ها" این نیز نقشی اساسی دارد.

وقتی کسی از "انحنای فضا" یا چیز دیگری در این زمینه صحبت می کند ، منظور نه كه فضا به بعد دیگری خم می شود (كه مفهوم روزمره انحنا است) ، بلكه ما در فضا می مانیم و "فقط" معیار متفاوتی را تعریف می كنیم ، كه در مقایسه با معمول است Metric (اقلیدس ، فضای تخت) فواصل را مشخص می کند که متغیر "فشرده" یا "کشیده" به نظر می رسند.

مقاله بسیار خوبی در اینترنت در این زمینه یافتم: http://www.phydid.de/ index.php / phydid-b / Article / viewFile / 336/454

در این مقاله یک "عمود" در نظر گرفته شده و عنصر خط متریک شوارتزشیلد تعیین می شود. اگر کسی این عنصر خط را (از نظر عددی) ادغام کند و آن را با فاصله اقلیدسی مقایسه کند ، تصویر زیر را بدست می آورد:

اولین قدم برای درک مفهوم "متریک" است ، دو نقطه در یک فاصله را برای به یک فضای بردار اختصاص می دهد.

همچنین گفته می شود که به یک فضا توسط یک متریک "هندسه" داده می شود و اگر کسی از "" استفاده کند از آن به عنوان "فضای اقلیدسی" یا "هندسه اقلیدسی" یاد می شود. از معیار اقلیدسی استفاده می شود.

به طور کلی ، فاصله بین دو نقطه ( vec {a} ) و ( vec {b} ) در فضای بردار با طول طول تفاوت تعیین می شود:

( فاصله زیاد = || vec {a} – vec {b} || )

تنسور متریک

پیوند: یوزف ام. گائنر (18) معادله میدان تنسور https://youtu.be/keQUeGEkCtQ برگزیده شده19659004] "سنسور متریک" به سادگی ماتریسی است طول هر بردار را مشخص كنید. به عنوان مثال در یک سیستم مختصات سه بعدی:

( Large g = چپ [ begin{array}{rrr} g_{11} & g_{12} & g_{13}\  g_{21} & g_{22} & g_{23} \  g_{31} & g_{32} & g_{33} end{array} right] \)

هر ماتریس (تنسور) معیاری را تعریف نمی کند. متریک تعریف شده باید (1) مستقل از سیستم مختصات باشد (2) معیار تعریف شده باید اصول بدیهی متریک را برآورده کند.

سپس با کمک چنین تانسور متریک طول طول بردار را تعریف می کنیم ( vec) {x} ) کاملاً ساده به عنوان محصول ماتریسی :

( Large || vec {x} || ^ 2 = left [ begin{array}{c} x_1 & x_2 & x_3  end{array} right] g left [ begin{array}{c} x_1 \ x_2 \ x_3  end{array} right] \)

در یک سیستم مختصات ، طول به این صورت است:

( Large || vec {x} || ^ 2 = sum limit_ {ij} x_i cdot x_j cdot g_ {ij} \ )

یا به عنوان عنصر خط نوشته شده است که به معنای (با قرارداد مجموع انیشتین) است:

(d s ^ 2 = dx ^ i cdot dx ^ j cdot g_ {ij} \ )

وقتی g _ij ثابت نباشد ، ما همیشه به چنین عنصر ناچیز کوچک نیاز داریم ، اما هنوز هم به نوعی به مختصات x ⁱ بستگی دارد (یعنی بسته به موقعیت مکانی). پس ما باید ادغام کنیم …

بسته به سیستم مختصات ، متریک اقلیدسی توسط سایر سنسورهای متریک تعریف می شود.
در مختصات چارتسی تانسور متریک برای متریک / هندسه اقلیدسی خواهد بود (به عنوان مثال دلتا کرونکر) ) …

( Large g_ {Chartesian} = left [ begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\  0 & 1 & 0 \  0 & 0 & 1 end{array} right] \)

که طول اقلیدسی (و در نتیجه فاصله) را به صورت کلاسیک به ما می دهد:

( Large || vec {x} || ^ 2 = sum limit_ {i} x_i ^ 2 )

در مختصات قطبی ((r ، vartheta) ) تانسور متریک برای متریک / هندسه اقلیدسی خواهد بود:

( Large g_ {polar} = left [ begin{array}{rr} 1 & 0 \  0 & r^2  end{array} right] \)

سپس عنصر خط خواهد بود:

(d s ^ 2 = dr ^ 2 + r ^ 2 cdot d vartheta ^ 2 \ )

در مختصات سیلندر ((r ، vartheta ، z) ) تانسور متریک برای متریک / هندسه اقلیدسی برابر خواهد بود:

( Large g_ {cylinder} = left [ begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\  0 & r^2 & 0 \  0 & 0 & 1 end{array} right] \)

سپس عنصر خط خواهد بود:

(d s ^ 2 = dr ^ 2 + r ^ 2 cdot d vartheta ^ 2 + d z ^ 2 \ )

در مختصات کروی ((r ، vartheta ، varphi) ) تانسور متریک متریک / هندسه اقلیدسی به این صورت خواهد بود:

( Large g_ {کره} = چپ [ begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\  0 & r^2 & 0 \  0 & 0 & (r cdot sin{vartheta})^2 end{array} right] \)

سپس عنصر خط خواهد بود:

(d s ^ 2 = dr ^ 2 + r ^ 2 cdot d vartheta ^ 2 + r ^ 2 cdot ( sin { vartheta}) ^ 2 cdot d varphi ^ 2 \ )

معیار Schwarzschild برای بعد "عمود" (19659003) اگر بخواهیم "انحنای فضا" ناشی از جرم (بزرگ) را درک کنیم ، ساده ترین راه برای شروع "سیاهچاله" است ، زیرا وجود دارد Karl Schwarzschild (1873 – 1916) در حال حاضر راه حل معادلات میدان اینشتین را برای ما آماده کرده است.

معیار Schwarzschild به طور سنتی در مختصات کروی نشان داده می شود. برای سادگی ، ابتدا فقط یک بعد (مکانی) را در نظر خواهیم گرفت: فاصله r اندازه گیری شده از مرکز یک شی با شعاع R _S . ما این r را "عمودی" می نامیم.

شعاع شوارتزشیلد هر جرم جرم M (در عمود) را محاسبه می کنیم:
(R_S = frac {2 cdot G cdot M} {c ^ 2} \ )

برای این منظور باید سنسور متریک را تعیین کنیم.

(g_ {rr} = frac {d s ^ 2} {d r ^ 2} )

از این تابع ناشناخته می توانیم به راحتی دو مقدار را برای خود روشن کنیم:

• با r به سمت بی نهایت مقدار به سمت 1 می رود. 19659023] این دو ویژگی عملکرد زیر را دارند (از طریق دو نقطه به عنوان رگرسیون حدس زده می شوند یا ساخته می شوند):

  (g_ {rr} (r) = Large frac {1} {1 – frac {R_S} {r}} \ )

  عنصر خط ما بدین ترتیب خواهد بود:

  (d s ^ 2 = Large frac {1} {1 – frac {R_S} {r}} cdot d r ^ 2 )

  در این معیار ، فاصله از r ₁ تا r ₂ r ₂ – r ₁ نخواهد بود اما بیشتر است. یعنی:

  ( Delta R = Large int limit_ {r_1} ^ {r_2} frac {dr} { sqrt {1 – frac {R_S} {r}}} = left [ r sqrt{1 – frac{R_S}{r}} + frac{R_S}{2} ln{frac{1+sqrt{1-frac{R_S}{r}}}{1-sqrt{1-frac{R_S}{r}}}} right] _ {r_1} ^ {r_2} )

  من این انتگرال را از آدرس زیر کپی کردم: https://physik.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Schwarzschild-Metrikipi19659024 phis- schwarzschild-Metrik برای بعد "زمان"

اگر فقط از بعد "استفاده کنیم" Time "در سنسور متریک است:

( بزرگ g_ {tt} = frac {d tau ^ 2} {d t ^ 2} )

ما می توانیم به راحتی دو مقدار از این تابع ناشناخته بسازیم:

• وقتی r به بی نهایت نزدیک می شود ، مقدار به 1 گرایش پیدا می کند.
• با r به سمت R _S ، مقدار به 0

متمایل می شود ] این دو ویژگی عملکرد زیر را دارند (از طریق دو نقطه به عنوان رگرسیون حدس زده می شوند یا ساخته می شوند):

(g_ {tt} (r) = Large 1 – frac {R_S} {r} \ )

تانسور شوارتزیلد

تانسور متریک متریک شوارتزیلد کامل خواهد بود: یعنی با مختصات کره ((ct، r، vartheta، varphi) ):

( Large g _ { mu nu} = left [ begin{array}{rrrr} 1 – frac{R_S}{r} & 0 & 0 & 0\  0 & – frac{1}{1- frac{R_S}{r}} & 0 & 0 \  0 & 0 & -r^2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & (r cdot sin{vartheta})^2 end{array} right] \)