قوانین نیوتن

در مکانیک نیوتون "همه چیز" با عملکرد نیروهای توضیح داده می شود.

از ما از مدرسه بدانید: نیرو = جرم در شتاب ضرب می شود

این بدان معنی است که اگر ما یک حرکت شتاب گرفته روی جرم را اندازه گیری کنیم ، این حرکت شتابدهنده را به عنوان اثر نیرویی که در بالا محاسبه شده است توضیح می دهیم.

در سیستم SI بر این اساس ، واحد اندازه گیری مقدار فیزیکی "نیرو" نیوتن است (1 نیوتن = 1 N = 1 کیلوگرم در ثانیه ²).

نیوتن سه قانون معروف را فرموله کرد در سال 1687:

جسمی بدون نیرو در حالت استراحت باقی می ماند یا در یک خط مستقیم با سرعت ثابت حرکت می کند. "قانون اینرسی"
نیرو برابر است با شتاب جرم: ( vec {F} = m cdot dot { vec {v}} ) "اصل عمل"
نیرو برابر با نیروی ضد است. "Actio برابر است با Reactio"

این قوانین پایه و اساس مکانیک کلاسیک را تشکیل می دهند.

اصل عمل فوق نیوتنی را قانون حرکت نیز می نامند ، زیرا حرکت ( vec {p} = m cdot vec {v} ) است ؛ همچنین ( vec {F} = dot { vec {p}} )

معادلات حرکت

یکی دوست دارد توسعه مکانی و زمانی یک سیستم مکانیکی را تحت تأثیر تأثیرات خارجی توصیف کند. به طور کلی به دنبال:

بردار موقعیت به عنوان تابعی از زمان: ( vec {s} (t) )
بردار سرعت به عنوان تابعی از زمان: ( vec {v} (t) )

این دو عملکرد به عنوان حل معادلات به اصطلاح حرکت یافت می شوند ، که به عنوان مثال این تأثیرات خارجی را توصیف می کنند.

مثال: سقوط آزاد طبق نیوتن

تأثیر خارجی در اینجا جاذبه است pull ، که روی جرم نقطه ای تمرین می کند m ( vec {F} = m cdot vec {g} ) ؛ جایی که فرض می کنیم شتاب گرانشی ( vec {g} ) با اندازه ثابت و جهت ثابت ایده آل شده است.

سوال این است که چگونه یک نقطه جرم ، که در زمان t = 0 شرایط اولیه s (0) = 0 و v (0) = 0 برآورده شد ، به مرور زمان انتقال یافت.
معادله حرکت برای این است: (m cdot dot { vec {v}} (t) = m cdot vec {g} )

این معادله حرکت با یکپارچه سازی حل می شود. همراه با شرایط اولیه ، این منجر به:

( vec {v} (t) = vec {g} cdot t )
( vec {s} (t) = frac {1} {2} vec {g} cdot t ^ 2 )

علاوه بر نمایش گرافیکی کلاسیک این دو عملکرد ، می توانیم از فضای فاز به اصطلاح نیز استفاده کنیم .

پیشنهاداتی از این ویدئو توسط Stefan Müller در YouTube وجود دارد https://www.youtube.com/watch؟v=Q0DiNWi_fcc.

Energie und Lagrange

توسعه مکانی و زمانی یک سیستم مکانیکی را نیز می توان توصیف کرد به اصطلاح فرم گرایی لاگرانژ. برای انجام این کار ، از مقادیر فیزیکی انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل استفاده می شود.

تابع Langrange: ( mathcal {L} = E_ {kin} – E_ {pot} )

برای انجام کاری با تابع Langrange ، آنها باید به عنوان تابعی از متغیرها (یعنی مختصات ) بیان شوند. انرژی جنبشی به طور کلاسیک به سرعت v بستگی دارد. به طور کلاسیک ، انرژی پتانسیل به مکان r بستگی دارد. متغیرهای (مختصات) تابع لاگرانژ فوق الذکر ( mathcal {L} (v، r) ) خواهند بود.

به موجب آن این تابع لاگرانژ فقط یک "تابع کمکی" است و یک ویژگی فیزیکی ذاتی را نشان نمی دهد

برای تابع Lagrange یکی معادلات به اصطلاح Langrange- را بدست می آورد (نوع دوم گفته می شود) به این صورت:

( Large frac {d} {dt} frac { partial mathcal {L}} { partial v} – frac { partial mathcal {L}} { partial r} = 0 )

مثال: سقوط آزاد با لاگرانژ

همچنین نگاه کنید به: https://www.youtube.com/watch؟v=MIHlsj6kan4cepts19659004] ما برای توصیف این آزمایش مکانیکی بسیار ساده (یک بعدی) از مختصات مکان استفاده می کنیم s (t) به عنوان مختصات ارتفاع در عمودی و سرعت (سرعت عمودی سقوط) v (t) .

تعمیم یافته (یا مختصات ) مختصات در مكانيك نظري يك مجموعه مختصر مختصات مستقل را براي توصيف صريح وضعيت مكاني سيستم مورد نظر تشكيل مي دهند. آنها به گونه ای انتخاب می شوند که فرمول بندی ریاضی حرکات تا حد ممکن ساده باشد. این مختصات تعمیم یافته اغلب دارای علامت (q_i ) هستند.

به عنوان انرژی پتانسیل و جنبشی ، ما باید:

(E_ {pot} = – m cdot s cdot g ) (جایی که g شتاب است به دلیل گرانش و s باید در همان جهت g اجرا شوند – همانطور که در بالا نیز گفته می شود]
(E_ {kin} = frac {1} {2} cdot m cdot v ^ 2 ) [19659004] و تابع Lagrange این سیستم مکانیکی عبارت است از:

( mathcal {L} (v، s) = frac {1} {2} cdot m cdot v ^ 2 + M cdot s cdot g \ )
بنابراین ما ابتدا مشتق جزئی تابع لاگرانژ را با توجه به سرعت v شکل می دهیم:

( Large frac { partial L} { partial v} = m cdot v \ )

سپس مشتق جزئی تابع لاگرانژ را با توجه به مختصات موقعیت s تشکیل می دهیم:

( Large frac { partial L} { partial s} = m cdot g \ )

معادله لاگرانژ- بدین ترتیب است:

( Large frac {d} {dt} (m cdot v) – m cdot g = 0 \ )

که معنای دیگری ندارد:

( Large m cdot dot {v} – m cdot g = 0 \)

که دقیقاً همان معادله حرکت بالا با بدیهیات کلاسیک نیوتنی است. بنابراین حل این معادله حرکت همان شکل بالا است:

( vec {v} (t) = vec {g} cdot t )
( vec {s} (t ) = frac {1} {2} vec {g} cdot t ^ 2 )

برای این مورد بسیار ساده ، مطمئناً از روش لاگرانژ استفاده نمی شود. اما می توان نحوه عملکرد آن را در اصل مشاهده کرد.