ریاضیات: معیارها ، فاصله و هندسه

متعلق به: ریاضیات
همچنین نگاه کنید به: انحنای ، فضای بردار

متریک ها ، فاصله و هندسه

یک معیار را می توان روی یک مجموعه M تعریف کرد. با اختصاص فاصله (عدد واقعی> = صفر) به دو نقطه.

d: M x M -> R

چنین تابع فاصله باید سه بدیهی را انجام دهد تا متریک نامیده شود

به عنوان مثال ، مجموعه M اغلب یک فضای بردار است R ² یا R ³ .

با کمک چنین متریک می توان کل "هندسه" را تعریف کرد ، یعنی مجموعه ای از قوانین برای نقاط ، خطوط مستقیم ، زاویه ها ، مثلث ها و غیره کلاسیک است هندسه اقلیدس ؛ هندسه های دیگر را "هندسه غیر اقلیدسی" می نامند…

هندسه اقلیدسی

در هندسه به اصطلاح اقلیدسی ، فاصله دو نقطه از فضا (یعنی متریک) با قضیه فیثاغورس آورده شده است

برای محاسبه فاصله بین دو نقطه از سیستم مختصات استفاده می کنیم به عنوان مثال im R ³ محور x ، محور y و محور z:

(d ((x_a ، y_a ، z_a) ، (x_b ، y_b ، z_b)) = sqrt {(x_b-x_a) ^ 2 + (y_b-y_a) ^ 2 – (z_b-z_a) ^ 2} \ )

این فاصله همچنین طول خط مستقیم بین نقاط a و b است.

در حالت کلی یک منحنی α (t) پارامتر شده با t ∈ [a,b] می گیریم و طول L منحنی α را تعریف می کنیم:

(L_ alpha (a، b) = int_a ^ b || alpha ^ prime (t) || dt \ )

این تعریف طول برای منحنی ها با معیار فاصله های نقطه ای در فضای اقلیدسی مطابقت دارد (oBdA: t ∈ [0,1]):

( alpha (t) = left ( start {array} {c} x_1 + (x_2-x_1) cdot t \ y_1 + (y_2-y_1) cdot t \ z_1 + (z_2- z_1) cdot t end {array} right) \ )

اولین مشتق:

( alpha ^ prime (t) = left ( start {array} {c} (x_2-x_1) \ (y_2-y_1) \ (z_2-z_1) end {array} right ) \ )

هنجار اشتقاق به این ترتیب است:

(|| alpha ^ prime (t) || = sqrt {(x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2} \ )

اگر این را در تعریف طول بالا وارد کنیم ، بدست می آوریم:

(L_ alpha (a، b) = int_a ^ b || alpha ^ prime (t) || dt = sqrt {(x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2 -z_1) ^ 2} int_0 ^ 1 dt = sqrt {(x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2} \ )

با فرمول انتگرال عمومی ، طول یک خط مستقیم دقیقاً مطابق با فیثاغورس فوق است.

عنصر خط

عنصری به اصطلاح برای تعریف معیار نیز استفاده می شود . برای متریک اقلیدسی در فضای سه بعدی با سیستم مختصات چارتسی (x، y، z) عنصر خط را داریم:

(ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 \ )

که منجر به:

(ds = sqrt {dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2} \ )

نوع منحنی پارامتر شده: [a,b] -> R ³ به معنی:

( Large frac {ds} {dt} = sqrt {( frac {dx} {dt}) ^ 2 + ( frac {dy} {dt}) ^ 2 + ( frac {dz} {dt }) ^ 2} \ )

که طول منحنی را از t = a تا t = b می دهد:

( Large L (a، b) = int_a ^ b sqrt {( frac {dx} {dt}) ^ 2 + ( frac {dy} {dt}) ^ 2 + ( frac {dz} {dt}) ^ 2} dt \ )

اگر اکنون در نظر دارید که:

(s ^ prime = frac {ds} {dt} = left ( start {array} {c} frac {dx} {dt} \ frac {dy} {dt} \ frac {dz} {dt} end {array} right) \ )

، هنجار این است:

(|| s ^ prime || = sqrt {( frac {dx} {dt}) ^ 2 + ( frac {dy} {dt}) ^ 2 + ( frac {dz} {dt}) ^ 2} \ )

این نتایج را درج کرد:

( Large L (a، b) = int_a ^ b || s ^ prime || dt \ )

که دقیقاً با اولین تعریف مطابقت دارد (بالا).

همچنین می توان نشان داد که طول یک منحنی پارامتر شده که به این روش تعریف شده است ، هنگامی که منحنی مجدداً پارامتر می شود ، ثابت می ماند.

تنسور متریک

عنصر خط در یک سیستم مختصات با استفاده از "سنسور متریک" (g _ { mu nu} ) از:

(ds ^ 2 = g _ { mu nu} x ^ mu x ^ nu \ )

در مورد هندسه اقلیدسی در R ³ تانسور متریک در سیستم مختصات چارتسی این است:

(g = چپ [ begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\  0 & 1 & 0 \  0 & 0 & 1 end{array} right] \)

"تانسور" از این نظر چیزی بیش از یک ماتریس (nxn) نیست که برای آن برخی قوانین اضافی در نظر گرفته شده است.

ما می توانیم این را به عنوان یک معیار غیر اقلیدسی درک کنیم ، به عنوان مثال کارل شوارتزیلد برای آن فرمول را در اوایل سال 1916 در مورد ساده یک جرم کروی (سیاهچاله) پیدا کرد.

به معمولاً از تصویری از چنین معیار غیر اقلیدسی به عنوان "انحنای" زمان-زمان یاد می شود. این "انحنا" در واقع فقط یک معیار دیگر است ، با این حال ، انحراف از معیار متعارف اقلیدسی اغلب "انحنا" تصور می شود ،

از آنجا که این "انحنا" (یعنی انحراف از معیار اقلیدسی) به یک بعد بعدی ، اما "در خود" یعنی هنگامی که فشرده سازی یا کشش رخ می دهد ، می خواهم چنین انحرافی را با خم شدن شبکه مختصات نشان دهم. بنابراین با مقایسه نوری دو معیار .

GeoGebra grid

metric Schwarzschild

من مقاله خودم را با موضوع متغیر Schwarzschild نوشتم. یا یک توده کروی همگن است. مختصات کروی مخصوصاً برای توصیف مناسب هستند. در جایی که زاویه "طول" و "عرض" به دلیل تقارن کروی هیچ علاقه ای ندارند. فقط بعد فضای شعاعی r و بعد زمان t مورد توجه هستند.

عنصر خط در بعد شعاعی این است (برای r> R _S ):

( بزرگ d s ^ 2 = g_ {rr} cdot d r ^ 2 = frac {1} {1 – frac {R_S} {r}} cdot d r ^ 2 )

با شعاع شوارتزیلد:

( Large R_S = frac {2 cdot G cdot M} {c ^ 2} \ )
بر خلاف عنصر خط اقلیدسی ، فاکتور g _rr (عنصر در تانسور متریک g) دیگر ثابت نیست ، اما به نوبه خود تابعی از r.

ورق GeoGebra 2: ds / dr