متعلق به: ریاضیات
همچنین نگاه کنید به: جبر Lineare
استفاده شده: WordPress-Plugin Latex
ماتریس به عنوان نقشه های خطی
هر ماتریس (nxm) یک نقشه خطی از ( ( ) با ضرب ماتریس mathbb {R} ^ m ) با توجه به ( mathbb {R} ^ n )
منبع: https://www.mathematik.de/algebra/74-erste-hilfe/matrizen / 2429-lineare-abUNGEN
نگاشت های خطی به عنوان ماتریس ها
یک نقشه خطی را می توان به روشنی با مقادیری که بردارهای پایه یک نقشه نگاشت (تبدیل) می شود ، توصیف کرد. فضای بردار به معنای ( mathbb {R} ^ 2 ) با سیستم مختصات متعارف و بردارهای پایه ( hat {i} ) و ( hat {j} ) زیر:
اگر یک بردار داشته باشیم ( vec {v} = left [ begin{array}{c} x \ y end{array} right] = x hat {i} + y hat {j} ) ، یک تحول خطی L به شرح زیر عمل می کند:
(L ( vec {v}) = x L ( hat {i}) + y L ( hat {j}) )
اگر بردارهای مبدل (L ( hat {i}) ) و (L ( hat {j}) ) را بدانیم ، تحول خطی L کاملاً مشخص می شود.
اینها تبدیل می شوند سیستم مختصات استفاده شده ، بردارهای پایه را می توان به عنوان ماتریس نوشت.
اگر به عنوان مثال ، (L ( hat {i}) = سمت چپ [ begin{array}{c} 3 \ -2 end{array} right] ) و (L ( ) در کلاه تحول خطی ما {j}) = چپ [ begin{array}{c} 2 \ 1 end{array} right] ) ، ما یک ماتریس دریافت خواهیم کرد:
( چپ [ L(hat{i}) | L(hat{j}) right] = چپ [ begin{array}{rr} 3 & 2 \ -2 & 1 \ end{array} right] )
ما بردارهای پایه تبدیل شده را بصورت عمودی بصورت ستون "به هم" می چسبانیم.
تغییر شکل خطی را می توان در سیستم مختصاتی که به عنوان ضرب ماتریس استفاده می شود ، درک کرد:
:
( left [ begin{array}{rr} 3 & 2 \ -2 & 1 \ end{array} right] left [ begin{array}{c} x \ y end{array} right] = x left [ begin{array}{c} 3 \ -2 end{array} right] + y left [ begin{array}{c} 2 \ 1 end{array} right] = left [ begin{array}{c} 3x+2y \ -2x+1y end{array} right] \)
تبدیلات خطی در ابعاد سه یا بیشتر (متناهی) نیز کاملاً مشابه انجام می شوند. 19659004] بنابراین اجازه دهید A ماتریس (nxn) برای نگاشت خطی L از یک فضای بردار V به یک فضای بردار W (هر دو در یک زمینه K) باشد
(L: V به W \)
به عنوان مثال ، برای L در مورد dim (V) = dim (W) = 3 ما ماتریس A (3 × 3) A داریم:
( Large A = left ( start {array} {rrr} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \ a_) {31} & a_ {32} & a_ {33} end {array} right) \)
تصویر ماتریس
تصویر ماتریس A مجموعه است:
( im (A) = {y in W ، | ، x در V وجود دارد ،: ، Ax = y } \)
im (A) دوباره یک فضای خالی از W. است.
رتبه یک ماتریس
رتبه یک ماتریس تعداد بردارهای خطی یا ستونی خطی مستقل از ماتریس است. یک مربع <span id = "MathJax-Element-11-Frame" class = "MathJax" tabindex = "0" role = "presentation" data-mathml = "
"> ( n × n ] ماتریس به این معنی است که حداکثر <span id =" MathJax -Element-12-Frame "class =" MathJax "tabindex =" 0 "role =" presentation "data-mathml ="
"> n .
رتبه (A.) = کم نور (im (A))
هسته ماتریس
هسته ماتریس A مجموعه بردارهایی است که بر روی بردار صفر نقشه برداری می شوند:
( ker (A) = {x in V ، | ، Ax = 0 } \)
ker (A) دوباره یک فضای خالی از V. است.
به عبارت دیگر: هسته A مجموعه حل سیستم خطی معادلات Ax = 0
تعیین کننده یک ماتریس
با درجه دوم <span id = "MathJax-Element-11-Frame" class = "MathJax" tabindex = "0" role = "presentation" data-mathml = "
"> ( n × n ] ماتریس تعیین كننده است اگر و فقط اگر رتبه آن باشد ماتریس کمتر از <span id = "MathJax-Element-13-Frame" class = "MathJax" tabindex = "0" role = "presentation" data-mathml = "
"> [19659054] n .
.