ریاضیات: اعداد مختلط | بلاگ دیتریش (استراتو)

متعلق به: ریاضیات
همچنین مراجعه کنید به: مکانیک کوانتوم ، از فیثاروراس تا اینشتین

اعداد مختلط

نقطه شروع واحد خیالی معروف است: i ² = -1

یکی اعداد مختلط غالباً به صورت قسمتهای واقعی و خیالی نوشته می شوند:

z = x + i * y x = Re (z) و y = Im (z)

جایی که x و y اعداد واقعی هستند.

با عقده ها شما همچنین می توانید چهار نوع محاسبه اساسی را پرداخت کنید ، همانطور که از "عادی" انتظار داریم دانستن اعداد واقعی ، اجرای آنها – اعداد مختلط ، از نظر ریاضی ، "جسم" را تشکیل می دهند.

برای هر عدد مختلط " مزدوج پیچیده " وجود دارد ، که من دوست دارم آن را با یک ستاره به عنوان یک علامت نوشتن :

به عدد مختلط: z = x + i * y
مزدوج است: z ^* = x – i * y

هر عدد مختلط نیز دارای مقدار " است "(می توان طول آن را تصور کرد):

| z | ² = x ² + y ²

نمایش اعداد مختلط با دکارتی مختصات

من توانستم اعداد واقعی را به اصطلاح با خط اعداد به خوبی تجسم کنم. سپس اعداد مختلط را با توجه به نقاط یک صفحه تجسم می کنم.

نمایش قطبی اعداد مختلط

اگر اعداد مختلط را به سادگی به عنوان نقطه در صفحه درک کنیم ، می توانم از آنها به جای مختصات دکارتی استفاده کنم ، در به اصطلاح مختصات قطبی نشان می دهد. یعنی با فاصله از نقطه صفر r و زاویه با محور واقعی φ.

برای عدد مختلط z = x + i * y ،

r² = x² + y²

tan φ = x / y

( displaystyle tan { phi} = frac {x} {y} )

نمایش نمایی اعداد مختلط

فرمول اویلر این است:

( displaystyle e ^ {i cdot phi} = cos phi + i cdot sin phi )

این به اصطلاح نمایشی نمایشی به ما می دهد:

( displaystyle z = {r} cdot e ^ {i cdot phi} )

در مکانیک کوانتوم این نمایش نمایی اغلب استفاده می شود ، به عنوان مثال زیرا می توانید از آن برای نشان دادن ضرب اعداد مختلط به روشنی استفاده کنید:

( displaystyle z_1 cdot z_2 = {r_1 cdot r_2} cdot e ^ {i cdot ( phi_1 + phi_2)} )

همچنین به YouTube-Video مراجعه کنید: https://www.youtube.com/watch؟v=pBh7Xqbh5JQcepts19659021] شماره اولر

تعریف شماره اولر

شماره e توسط لئونارد اویلر ایجاد شد (1703-1783) به عنوان حد سری بی نهایت زیر تعریف شده است:

( displaystyle e = 1 + frac {1} {1} + frac {1} {1 cdot 2} + frac {1} {1 cdot 2 cdot 3} + frac {1} { 1 بار 2 بار 3 بار 4} +… )

یا:

( displaystyle e = sum_ {n = 0} ^ { infty} frac {1} {n!} )

تابع نمایی

توابع نمایی e تابع نمایی را تشکیل می دهند ، همچنین تابع الکترونیکی نامیده می شود:

f (x) = e ^x

اشتقاق ( ضریب دیفرانسیل) تابع e نیز تابع e است: ₀ = 0

( displaystyle f (x) = 1 + x + frac {x ^ 2} {2!} + frac {x ^ 3} {3!} + frac {x ^ 4} {4!} + … + frac {x ^ n} {n!} +… )

به طور کلی ، مجموعه تیلور بله خواهد بود:

( displaystyle T_ infty (x؛ x_0) = sum_ {k = 0} ^ { infty} frac {f ^ (k) (x_0)} {k!} (x-x_0) ^ k )

از آنجا که مقدار تابع و تمام مشتقات تابع نمایی در نقطه x ₀ = 0 همه 1 است ، بازنمایی همانطور که در بالا نشان داده شده ساده شده است.